Задачи на вычисление площади встречаются в ЕГЭ и ОГЭ почти всегда. В большинстве своем действительно сложных задач на экзамене в частях А и В не бывает. Однако некоторые задачи можно решить по-простому, а можно по-сложному.
Вот пример такой задачки. Надо найти площадь звезды. Единичный квадрат дан справа.
Найти площадь звезды, если единичный квадрат содержит в себе 16 клеточек.
Сразу подсказка: получится целое число. Как решать? Тут есть масса вариантов. Можно поделить звезду на треугольники и другие фигуры. Чуть проще будет, если вписать эту звезду в прямоугольник, вычислить площадь прямоугольника, а потом вычесть всё лишнее. Однако это долго и муторно. Мне даже лень приводить здесь такое решение. Если хотите, попробуйте сами. Можно тупо начать пересчитывать квадратики внутри звездочки, а потом каким-то образом суммировать нецелые части. Если умудриться нигде не ошибиться, то получится правильный ответ — 11.
Но есть способ гораздо более простой и быстрый. Иногда его проходят в восьмом классе. Но, судя по моему опыту общения с учениками, не всегда. То ли учителя не рассказывают, то ли ученики от того, что не используют его в течение учебы, забывают к 11 классу. Это формула Пика. Пик — это такой австрийский математик. Он вывел и доказал эту формулу в 1899 году. Она получила широкое распространение и известность, благодаря тому, что позволяла быстро находить площади многоугольников. Это пригодилось в частности для вычисления площади полигонов на картах и в других военных вопросах.
В Германии эту формулу знают все школьники. Причем знают не так, как у нас, а знают очень хорошо. Если мы поделим лист на квадраты, то формула очень простая: S=Г:2+В-1, где Г — это количество узлов решетки на границе фигуры, а В — число узлов внутри фигуры. И есть ещё одно важное условие: вершины должны лежать на узлах этой решетки. В нашем случае это именно так. В общем-то всё решение написано на картинке ниже.
Элементарнейшее решение на уровне арифметики, но на ЕГЭ выпускники тратят очень много времени на такие задачи.
S=14:2+5-1=7+5-1=11. Это есть ответ. Зная формулу Пика, задача становится устной и на ЕГЭ можно легко сэкономить минут 10.
